MAKALAH PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN, EIGEN VALUE, DAN EIGEN VEKTOR

MAKALAH

PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN, EIGEN VALUE,

DAN EIGEN VEKTOR

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen pengampu : Lilik Sulistyo, M.Pd.

Disusun oleh  :

FAIZ ALI SHOFI’IN ( 171240000613)

                 

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINTEK

UNIVERSITAS ISLAM NAHDLATUL ULAMA (UNISNU) JEPARA

TAHUN 2018

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr. Wb

Syukur Alhamdulillah senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat, hidayah, dan taufiq-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan makalahyang berjudul “Persamaan Linear Homogen, Eigen Value, dan Eigen Vektor” untuk memenuhi tugas mata kuliah ALJABAR LINEAR.

Dalam penulisan makalah ini, saya menyadari sepenuhnya segala keterbatasan manusiawi yang dimiliki, sehingga makalah ini masih jau dari kesempurnaan. Oleh karena itu saya mengharapkan sekali kritik dan saran utuk menyempurnakan makalah ini.

Saya berharap penyusunan makalah “Persamaan Linear Homogen, Eigen Value, dan Eigen Vektor” ini mampu menambah wawasan kita tentang sistem persamaan aljabar linear.

Wassalamualaikum Wr. Wb

Jepara, 25 Juni 2018

                        Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...................................................................................................... i

DAFTAR ISI.................................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................................ 1

1.1  Latar Belakang............................................................................................. 1

1.2  Rumusan Masalah........................................................................................ 1

1.3  Tujuan Penulisan......................................................................................... 1

BAB II PEMBAHASAN................................................................................................. 3

2.1  Pengantar Transformasi Linier................................................................. 3

2.2  Sifat Transformasi Linier........................................................................... 4

2.3  Sistem Persamaan Linier Homogen........................................................... 6  

2.4  Nilai Eigen dan Vektor Eigen...................................................................... 8

BAB III PENUTUP....................................................................................................... 11

            3.1  Kesimpulan................................................................................................. 11

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 12

BAB I

PENDAHULUAN

1.1   Latar Belakang

Dalam materi pembelajaran Aljabar linear terdapat sistem yang mencakup Sistem Equivalen dan Operasi Elementer, Sistem Persamaan Linear Bujur Sangkar Kecil, Sistem Bentuk Segitiga dan Eselon, Eliminasi Gauss, Matriks Eselon, Bentuk Kononis Baris, Equivalnci Baris, Eliminasi Gauss dan Fomulasi Matriks, Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linear, Sistem Persamaan Linier dan Kombinasi Linear Vektor-vektor, Sistem Persamaan Linear Homogen, dan sistem Persamaan Linear Nonhomogen serta Matriks Elementer.

                                            Namun, dalam makalah ini penulis membatasi ruang lingkup pembahasan. Dari makalah ini penulis hanya membahas mengenai sistem persamaan linear homogen, eigen value, dan eigen vektor  dengan pembahasan mengenai bentuk, definisi,  dan contoh soal serta penyelesaiannya. Konsep yang sangat penting dalam Teori Matriks, yakni nilai eigen dari suatu matriks. Nilai eigen sendiri memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya untuk penentuan kestabilan suatu sistem, perhitungan ranking suatu web yang dipakai dalam situs Google, konsep diagnolisasi matriks, masalah pengenalan wajah dan lain-lain.

1.2   Rumusan Masalah

Dari latar belakang diatas, penulis dapat menarik beberapa rumusan masalah yang akan dijelaskan dalam pembahasan, yaitu sebagai berikut :

Bagaimana definisi dan contoh soal serta penyelesaian dari bentuk persamaan linear ?

Apa pengertian nilai eigen dan vektor eigen ?

Bagaimana cara mencari nilai dan vektor eigen ?

1.3 Tujuan Penulisan

Selain permasalahan yang ditemui dalam pembuatan makalah ini si penulis juga mempunyai beberapa tujuan dalam menulis makalah ini yaitu sebagai berikut :

1.      Si pembaca dapat mengetahui apa yang Transformasi Linier & cara pengoperasiannya.

2.      Si pembaca dapat mengetahui Persamaan Linier Homogen & cara pengoperasiannya.

3.      Si pembaca dapat mengetahui apa itu nilai Eigen dan Vektor Eigen & cara pengoperasiannya

.

BAB II

PEMBAHASAN

TRANSFORMASI LINEAR

2.1  Pengantar Transformasi Linier

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakantransformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga         

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor diR^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

2.2  Sifat Transformasi Linier

Pada  bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

A.     Teorema 1. Jika T:V             W adalahtransformasi linier, maka : (a)    T(0)  = 0 (b)   T(-v) = -T(v) untuksemua v di V (c)    T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang membuktikan (a).

Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).

      Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

     T(v-w) = T(v + (-1)w)

   = T(v) + (-1) T(w)

   = T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh  R(T).

                

B.     Teorema 2. Jika V:T       W adalahtransformasi linear, maka : (a)    Kernel dari T adalahsubruangdari  V. (b)   Jangkauandari T adalahsubruangdari W.

 Bukti. 

(a). Untuk memperlihatkan  bahwa ker(T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa  ker(T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v₁ dan v₂ adalah vektor-vektor  dalam ker(T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka

T (v₁ + v₂ )       = T(v₁) + T(v₂)

 = 0 + 0 = 0

Sehingga v₁ + v₂ berada dalam ker(T). Juga,

                                                T(k v₁) = kT(v₁) = k0 =0

Sehingga k v₁  berada dalam ker(T).

(b).  Misalkan w_{1 dan} w₂ adalah vektor  dalam jangkauan T. Untuk membuktikan bagian ini maka harus kita perlihatkan bahwa w₁ + w₂ dan k w₁ berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k; yakni, kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a) = w₁ + w₂  dan T(b) = k w₁.

Karena w₁ dan w₂ berada dalam jangkauan T, maka vektor a₁ dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misalkan a = a₁ +a₂ dan b = ka₁. Maka

                                    T(a) = T(ka₁) = kT(a₁) = kw₁

Yang melengkapkan bukti tersebut.

                                                                                                                                         

2.3   Sistem Persamaan Linier Homogen

Sebuah sistem persamaan-persamaan linear dikatakan homogen jika memuat konstan sama dengan nol, yakni sistem tersebut mempunyai bentuk : Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah system yang konsisten karena x₁ = 0, x₂ = 0, …, x_n = 0 selalu mempunyai solusi.14 Apr 2012

Suatu sistem persamaan linear AX=B, dikatakan homogen jika konstanta real semuanya nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk :

dimana    

x1, x₂, …, x_n variabel tak diketahui.

Kemungkinan solusi SPL dengan m persamaan dan n variable

Teorima

Sistem persamaan linear homogen mempunyai tak hingga banyaknya solusi bukan nol bila banyaknya persamaan yang tidak diketahui lebih sedikit daripada banyaknya variabel yang tidak diketahui, dengan kata lain m<n.

Secara umum, sistem persamaan linear homogen mempunyai tak hingga banyaknya solusi bukan nol bila dalam matriks eselon barisnya, banyaknya baris bukan nol lebih sedikit daripada banyaknya variabel yang tidak diketahui.

 Latihan Penyelesaian SPL Homogen dengan Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Contoh:

2.4  NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Pengertian Nilai dan Vektor Eigen

Nilai Eigen ({\displaystyle \lambda }) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen ({\displaystyle x}) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.^[1][2]Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.^[1][3] Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen.^[1] Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.^[4]

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut.^[5] Ruang Eigen dari {\displaystyle \lambda }merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan {\displaystyle \lambda } yang digabungkan dengan vektor nol.^[6] Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.^[7]

Perhatikan gambar di bawah ini:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:

Contoh Soal dan Penyelesaian

Penyelesaian :

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

                      Tiap-tiap system persamaan linear homogeny adalah system yang konsisten, karena X1 = 0, X2 = 0, ..., Xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Karena salah satu pemecahan ini adalah pemecahan trival, maka kita dapat membuat pernyataan sebagai berikut.

System tersebut hanya mempunyai pemecahan trival.

System tersebut mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan taktrival sebagai tambahan terhadap pemnecahan trival tersebut.

Pada nilai dan vektor eigen jika Aadalah suatu matriks n x n maka vektor tak nol x pada  disebut suatu vektor eigen  dari A, jika Ax adalah suatu kelipatan skalar dari X; yaitu Ax = λx untuk suatu skalar λ . Skalar λ disebut nilai eigen dari A, dan x disebut suatu vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.

 

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer edisi ke 5. Jakarta : Erlangga.

Sibrani, M. 2013. Aljabar Linear. Jakarta : PT Grafindo Persada Jakarta.

https//istanamengajar.wordpress.com/2014/01/28/soal-dan-pembahasan-nilaidan vektor-eigen-suatu-matriks/.